ШАЙМАРДАНОВА ТАТЬЯНА ВАСИЛЬЕВНА

Учитель математики высшей квалиф. категории

Средняя школа №1 г. Елабуги

ТЕМА «ЧТЕНИЕ ГРАФИКА ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ»

Цель урока: формирование умений и навыков по определению свойств производной по графику функции, свойств функции по графику производной, сопоставлению графика функции и графика ее производной.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа 10 класс в 2 частях, ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/под редакцией А.Г.Мордковича. – 4-е изд. испр. - М.: Мнемозина, 2007. – 340 стр.

2. Алгебра и начала анализа 10 класс в 2 частях, ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/под редакцией А.Г.Мордковича. – 4-е изд. испр. - М.: Мнемозина, 2007. – 336 стр.

3. Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2010/ под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион – М., 2009 – 480 с. (Готовимся к ЕГЭ)

Материалы и оборудование: компьютерная презентация.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Повторение теоретического материала по теме.

3. Основная часть.

4. Формирование знаний, умений и навыков.

5. Закрепление пройденного.

6. Подведение итогов.

Ход урока.

1. Организационный момент.

В ходе изучения темы «Исследование функций с помощью производной» были сформированы умения находить критические точки функции, производную, определять с ее помощью свойства функции и строить ее график . Сегодня мы посмотрим на эту тему под иным углом зрения: как через график производной функции определить свойства самой функции. Наша задача: научиться ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с графиками функций и их производных.

2. Повторение теоретического материала по теме.

Повторим некоторые свойства функции: возрастание и убывание, экстремумы функции.

- Какая функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке?

Функция возрастает на промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция убывает на промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

- Что называется точкой максимума функции?

Точка непрерывной функции, в которой возрастание функции меняется на убывание, является точкой максимума.

- Дайте определение точки минимума функции.

Точка, в которой убывание меняется на возрастание, является точкой минимума.

- Рассмотрим задачу:

На рис.1 изображен график функции у=f (х). Функция определена на промежутке [-2;9]

Исследовать функцию на монотонность, определить экстремумы функции.

y

Ответ: функция возрастает на каждом из промежутков [-2;2] и [5;9], убывает на промежутке [2;5], Xmax = 2 , Хmin = 5.

- В чем заключается геометрический смысл производной?

Производная функции в точке касания равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке, то есть тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс.

- Какой знак имеет производная функции, возрастающей (убывающей) на промежутке Х?

Для возрастающей функции на промежутке Х угловой коэффициент касательной положителен, то есть производная положительна в каждой точке промежутка Х.

Для убывающей функции на промежутке Х угловой коэффициент касательной отрицателен, то есть производная отрицательна в каждой точке промежутка Х.

- Сформулируйте необходимое условие существования экстремума.

Если функция y=f (x) имеет экстремум в точке х=х₀, то в этой точке производная либо равна 0, либо не существует.

Итак, имея график функции, мы можем определить свойства производной функции.

- По графику функции у=f (х) (рис.2) укажите:

а) при каких значениях х производная функции равна 0;

б) при каких значениях х производная положительна;

в) при каких значениях х производная отрицательна;

г) в каких точках производная не существует.

Ответ: а )f ' (2)=0, f ' (5)=0, f ' (8)=0;

б) производная положительна на промежутках: ( - ∞; 2), (2; 5), (8; 11); в)производная отрицательна на промежутках: (5; 8), (11;+ ∞);

г) производная не существует в точке х=11.

Итак, имея график функции, мы можем определить свойства производной функции.

3. Основная часть.

Формирование знаний, умений и навыков.

Наоборот, по знаку производной можно сделать вывод о характере монотонности функции и ее экстремумах.

Для этого есть достаточный признак возрастания (убывания) функции. Он гласит:

1. Если производная функции положительна в каждой точке интервала Х, то функция возрастает на интервале Х.

2. Если производная функции отрицательна в каждой точке интервала Х, то функция убывает на интервале Х.

Достаточные условия экстремума:

Пусть функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка критическую точку х₀. Тогда если при переходе через точку х₀ производная:

а) меняет знак с « +» на «-» , то х₀ – точка максимума функции,

б) меняет знак с «-» на «+» , то х₀ – точка минимума функции,

в) не меняет знака, то в точке х₀ экстремума нет.

Производная функции сама является функцией. Значит, у нее имеется свой график.

Если график производной на интервале Х ( у нас отрезок [а; b] ) расположен выше оси абсцисс, то функция возрастает на этом интервале.

Если график производной на интервале Х расположен ниже оси абсцисс, то функция убывает на этом интервале. Причем варианты графиков производной могут быть различны.

Поведение графика производной функции на [а; b]

Функция возрастает Функция убывает

Итак, имея график производной функции, можно сделать вывод о свойствах самой функции.

Рассмотрим несколько задач на чтение графика производной функции.

Задача 1. Сколько точек экстремума имеет функция у=f (x), заданная на всей числовой прямой? Исследовать функцию y=f(x) на монотонность. Указать длину промежутка убывания функции f (x). (Рис. 3)

Производная равна 0 в точках: 3, 5, 9. Это критические точки.

Если на промежутке производная положительна, то функция на этом промежутке возрастает. На данном рисунке это промежутки : ( - ∞; 3),

(5; 9), (9; + ∞).

Функция непрерывна в точках, поэтому добавляем концы промежутков:( - ∞; 3], [5;9], [9; + ∞).

Если на промежутке производная отрицательна, то функция на этом промежутке убывает. В данном случае это промежуток [3;5]. Длина его равна 2.

В точке х=3 производная меняет знак с «+» на « - ». Это точка максимума.

В точке х=5 производная меняет знак с «-» на «+». Это точка минимума.

В точке х=9 производная не меняет знака. Она не является точкой экстремума.

Задача 2. Функция определена на R. На рис. 4 – график ее производной. Указать наибольшую точку минимума функции у=f (х).

Точка минимума функции – это точка в которой производная меняет знак с «-» на « +».

Из рисунка видно, что таких точек две: -2 и 10. Наибольшая из них – 10.

Задача 3. Функция у=f (х) определена на промежутке ( -5; 9 ). На рис.5 изображен график ее производной. Найдите точку х₀ , в которой функция у=f (х) принимает наибольшее значение.

Производная функции определена на промежутке ( -5; 9 ) и обращается в 0 в точке х=4.

На промежутке ( -5; 4 ) производная положительна, следовательно, функция возрастает на промежутке ( -5; 4 ), а так как функция непрерывна в точке 4, то и на промежутке (-5; 4].

На промежутке ( 4; 9 ) производная отрицательна, следовательно, функция убывает на промежутке [4; 9).

Xmax = 4.

Поскольку это единственная точка экстремума непрерывной функции на промежутке ( -5; 9 ), в ней функция принимает наибольшее значение.

Задача 4. К графику функции у=f (х) в точке с абсциссой х=1проведена касательная. Найти ее угловой коэффициент, если на рис. 6 - график производной этой функции.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х₀=1 равен производной функции в точке х₀=1.

f ' (1) = 2 . Следовательно, к=2.

Можно говорить еще об одной взаимосвязи: взаимосвязи графика функции и графика ее производной.

Задача 5. Определить соответствие графиков функций и графиков их производных на рис. 7.

Под номером 1 график возрастающей на всей числовой прямой функции. Следовательно, ее производная положительна на всей числовой прямой. Это выполняется для графика 5.

Под номером 2 график функции, убывающей на промежутке ( - ∞; 0], следовательно, производная функции отрицательна на этом промежутке. Функция возрастает на промежутке [0; + ∞), следовательно, производная положительна на этом промежутке. Эти условия выполняются для графика 6 .

Под номером 3 график функции, которая сначала возрастает, затем убывает, значит, производная ее сначала положительна, затем отрицательна. И это видно на графике 4.

Задача 6. Указать номер прямой, которая является графиком производной данной функции.

Функция убывает на промежутке ( - ∞; а], возрастает на промежутке [а; + ∞), значит, производная функции отрицательна на промежутке ( - ∞;а), положительна на промежутке (а; + ∞) Это прямая 3.

4. Закрепление пройденного.

Предлагаем тренажер по пройденной теме.

5. Подведение итогов.

Мы рассмотрели взаимосвязь монотонности функции и знака ее производной, достаточные условия существования экстремума. Рассмотрели различные задания на чтение графика производной функции, которые встречаются в текстах единого государственного экзамена. Все рассмотренные нами задания хороши тем, что на их выполнение не нужно много времени. Во время единого государственного экзамена это очень важно: быстро и правильно записать ответ

Все рассмотренные нами задания хороши тем, что на их выполнение не нужно тратить много времени. А во время единого государственного экзамена это очень важно: быстро и правильно записать ответ на вопрос задачи.